傅里葉變換、拉氏變換、z變換的含義

作者:21ic電子網  來源/微信公眾號:weixin21ic 發布日期:2019-07-05

1、關于傅里葉變換變換?
答:fourier變換是將連續的時間域信號轉變到頻率域;它可以說是laplace變換的特例,laplace變換是fourier變換的推廣,存在條件比fourier變換要寬,是將連續的時間域信號變換到復頻率域(整個復平面,而fourier變換此時可看成僅在jΩ軸);z變換則是連續信號經過理想采樣之后的離散信號的laplace變換,再令z=e^sT時的變換結果(T為采樣周期),所對應的域為數字復頻率域,此時數字頻率ω=ΩT。——參考鄭君里的《信號與系統》。
傅里葉變換的實質是將一個信號分離為無窮多多正弦/復指數信號的加成,也就是說,把信號變成正弦信號相加的形式——既然是無窮多個信號相加,那對于非周期信號來說,每個信號的加權應該都是零——但有密度上的差別,你可以對比概率論中的概率密度來思考一下——落到每一個點的概率都是無限小,但這些無限小是有差別的。所以,傅里葉變換之后,橫坐標即為分離出的正弦信號的頻率,縱坐標對應的是加權密度。對于周期信號來說,因為確實可以提取出某些頻率的正弦波成分,所以其加權不為零——在幅度譜上,表現為無限大——但這些無限大顯然是有區別的,所以我們用沖激函數表示。已經說過,傅里葉變換是把各種形式的信號用正弦信號表示,因此非正弦信號進行傅里葉變換,會得到與原信號頻率不同的成分——都是原信號頻率的整數倍。這些高頻信號是用來修飾頻率與原信號相同的正弦信號,使之趨近于原信號的。所以說,頻譜上頻率最低的一個峰(往往是幅度上最高的),就是原信號頻率。傅里葉變換把信號由時域轉為頻域,因此把不同頻率的信號在時域上拼接起來進行傅里葉變換是沒有意義的——實際情況下,我們隔一段時間采集一次信號進行變換,才能體現出信號在頻域上隨時間的變化。我的語言可能比較晦澀,但我已盡我所能向你講述我的一點理解——真心希望能對你有用。我已經很久沒在知道上回答過問題了,之所以回答這個問題,是因為我本人在學習傅里葉變換及拉普拉斯變換的過程中著實受益匪淺——它們幾乎改變了我對世界的認識。傅里葉變換值得你用心去理解——哪怕苦苦思索幾個月也是值得的——我當初也想過:只要會算題就行。但浙大校訓“求是”時時刻刻鞭策著我追求對理論的理解——最終經過很痛苦的一番思索才恍然大悟。建議你看一下我們信號與系統課程的教材:化學工業出版社的《信號與系統》,會有所幫助。
(另一種說法)對于周期函數f,傅立葉變換就是把這個函數分解成很多個正弦函數fn的和,每個fn的頻率是f的n倍。所謂二次諧波,就是函數f2的頻率為f兩倍的那個函數。
(另二種說法)周期信號的傅里葉級數的意義是信號在每一個離散頻率分量處的幅度;非周期信號的傅里葉變換可以理解為周期無窮大的周期信號的傅里葉級數。這時,離散的頻率逐漸變成了連續的頻率,某一點頻率處的頻譜密度值是沒有意義的,如同概率密度函數,你只有求那一點附近一小段頻率內與頻譜密度函數形成的面積值才有意義,才表示了信號在那一頻率點的幅度。具體參考《信號與系統》鄭君里版清華大學出版社P91,P111。
2、什么是Laplace變換?
答:
(第1種說法)拉氏變換的作用:
(1)求解方程得到簡化。且初始條件自動包含在變換式里。
(2)拉氏變換將“微分”變換成“乘法”,“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數方程。拉氏變換將時域中卷積運算變換成“乘法”運算。
(3)利用系統函數零點、極點分布分析系統的規律。
在經典控制理論中,對控制系統的分析和綜合,都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點,是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性(見信號流程圖、動態結構圖)、分析控制系統的運動過程(見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法),以及綜合控制系統的校正裝置(見控制系統校正方法)提供了可能性。
現在給你舉個例子:我們學控制的時候,比如一個二階電路RLC系統微分方程是:LC*Uc''+RC*Uc'+Uc=U設想你借這個微分方程多費勁,那么你用laplace變換,微分方程變為LC*s^2*Uc+RCs*Uc+Uc=U然后Uc=U/(LCs^2+RCs+1)
然后可以查表直接得出結果(就跟查積分表一樣方便),這不比你解微分方程,強多了么!
(第2種說法)拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法,把定義在時域上的信號(函數)映射到復頻域上(要理解這句話,需要了解一下函數空間的概念--我們知道,函數定義了一種“從一個集合的元素到另一個集合的元素”的關系,而兩個或以上的函數組合成的集合,就是函數空間,即函數空間也是一個集合;拉普拉斯變換的“定義域”,就是函數空間,可以說,拉普拉斯變換就是一種處理函數的函數。由于拉普拉斯變換定義得相當巧妙,所以它就具有一些奇特的特質),而且,這是一種一一對應的關系(只要給定復頻域的收斂域),故只要給定一個時域函數(信號),它就能通過拉普拉斯變換變換到一個復頻域信號(不管這個信號是實信號還是復信號),因而,只要我們對這個復頻域信號進行處理,也就相當于對時域信號進行處理(例如設f(t)←→F(s),Re[s]>a,則若我們對F(s)進行時延處理,得到信號F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相當于我們給時域函數乘以一個旋轉因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z];只要對F(s-z)進行反變換,就可以得到f(t)e^zt)。
拉普拉斯變換被用于求解微分方程,主要是應用拉普拉斯變換的幾個性質,使求解微分方程轉變為求解代數方程(因為求解代數方程總比求解微分方程容易得多!而且,(可以很方便地)對求解結果進行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解)。
我們總可以容易地畫出實變函數的圖像(絕大多數函數的確如此),但我們難以畫出一個復變函數的圖象,這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一;而另外一個原因,就是拉普拉斯變換中的復頻率s沒有明確的物理意義。關于特征根和復數,建議提問者再去看看書中的定義,應該不難理解。
3、什么是z變換?在離散系統分析中為簡化運算而建立的對函數序列的數學變換,其作用與拉普拉斯變換在連續系統分析中的作用很相似。Z變換對求解線性差分方程是一種簡單而有效的方法。在采樣控制理論中,Z變換是主要的數學工具。Z變換還在時間序列分析、數據平滑、數字濾波等領域有廣泛的應用。當一個連續信號x(t)通過每隔T秒鐘閉合一次的采樣開關時,就得到一個函數序列x(kT)(k=0,1,2,…)。函數序列x(kT)在0、T、2T、…時刻上具有與連續信號x(t)相同的函數值,而在所有其他時刻上均恒為零。
4、什么是FFT(快速fourier變換)?
答:音頻處理里面常用。就是把波形(時域信號)變換到頻域,使得用戶更好的分析。頻域就是類似于“千千靜聽”的頻譜。這個過程叫“離散傅立葉變換”(DFT)。而FFT是DFT的一種高效快速算法。快速傅立葉變換算法的原理是(來自百度百科):快速傅氏變換(FFT)是離散傅氏變換的快速算法,它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性,對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發現,但是對于在計算機系統或者說數字系統中應用離散傅立葉變換,可以說是進了一大步。設x(n)為N項的復數序列,由DFT變換,任一X(m)的計算都需要N次復數乘法和N-1次復數加法,而一次復數乘法等于四次實數乘法和兩次實數加法,
一次復數加法等于兩次實數加法,即使把一次復數乘法和一次復數加法定義成一次“運算”(四次實數乘法和四次實數加法),那么求出N項復數序列的X(m),即N點DFT變換大約就需要N2次運算。當N=1024點甚至更多的時候,需要N2=1048576次運算,在FFT中,利用WN的周期性和對稱性,把一個N項序列(設N=2k,k為正整數),分為兩個N/2項的子序列,每個N/2點DFT變換需要(N/2)2次運算,再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以后,總的運算次數就變成N+2(N/2)2=N+N2/2。繼續上面的例子,N=1024時,總的運算次數就變成了525312次,節省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去,直到分成兩兩一組的DFT運算單元,那么N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算,N在1024點時,運算量僅有10240次,是先前的直接算法的1%,點數越多,運算量的節約就越大,這就是FFT的優越性。

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